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级数收敛的必要条件(如何理解级数的性质)

100次浏览     发布时间:2024-09-23 08:50:46    

01 引言

级数的本质为无穷项数列之和。联系这样的本质可以理解和掌握级数的性质。

02 无穷项级数性质的理解

如级数的每一项都乘以不为零的常数,级数的敛散性不变。假设级数所有项之和为S,如给每一项都乘以不为0的常数后,所有项之和中的常数可以提出来,从而新级数的所有项之和为s再乘以该常数,也就是级数是收敛的。反之,如级数所以项之和为无穷大,那么级数的每一项乘以常数后,所有项的和仍为无穷大,从而级数发散。

由于级数为无穷项之和,所以改变有限项,不会影响级数的敛散性。由此可进一步理解删掉、改变或添加有限项不会影响级数的敛散性。

因为级数为无穷项之和。所以任意添加括号,只是改变了部分有限项不会影响级数的性质。

正因为级数为无穷项之和。所以如一级数第无穷项不为0,则假设前面各项都和第无穷项相等,则所有项之和仍为无穷大,从而级数发散。因此级数收敛的必要条件为其第无穷项为零,也就是第n项的极限为零。

由这样的性质可以推证出,p级数当p大于1时收敛,小于等于1时发散;还可证明出调和级数必发散的结论。

03 结论

由级数为无穷项之和的本质理解了相关的性质,说明数学学习上抓重点与本质的极端重要性。



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